加装电梯是近年来许多老旧小区改造的重要内容，它不仅提升了居民的居住品质，也改善了出行便利性。然而，在实际操作过程中，常常会遇到一些复杂的问题，比如产权归属、资金筹措、业主意见分歧等。其中，有一个问题尤为特殊：当某位业主将房屋抵押给银行时，银行是否可以出具同意函，允许该房屋参与加装电梯的项目？这一问题涉及法律、金融和物业管理等多个层面，需要仔细分析。

首先，我们需要明确的是，加装电梯通常需要全体业主或大多数业主的同意。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，对于建筑物及其附属设施的改建、重建，应当由专有部分面积占比三分之二以上的业主且人数占比三分之二以上的业主参与表决，并且应当经参与表决的业主中专有部分面积占比三分之二以上且人数占比三分之二以上的业主同意。因此，即便某位业主不同意，只要多数业主支持，加装电梯仍可推进。

然而，当一位业主将房产抵押给银行时，情况就变得复杂起来。因为一旦房产被抵押，意味着该房产的产权在一定期限内受到限制，银行作为抵押权人，对房产具有优先受偿的权利。在这种情况下，如果该业主不配合加装电梯，或者拒绝签署相关文件，可能会对整个项目的推进造成阻碍。

但值得注意的是，银行并不直接参与加装电梯的决策过程。银行的主要职责是保障其债权的安全，而非介入小区内部事务。因此，银行是否出具同意函，取决于该业主是否愿意配合，并且该行为是否符合银行的风险控制政策。一般来说，银行不会主动出具同意函，除非该业主明确表示同意，并且该行为不会影响其抵押物的价值。

在这种情况下，如果该业主已经将房屋抵押给银行，而银行又出具了同意函，那么这可能意味着该业主在抵押期间仍然拥有对房屋的处分权，或者银行对该业主的行为进行了特别授权。这种做法虽然在理论上可行，但在实际操作中较为少见，因为银行通常会对抵押物的使用进行严格限制，以确保其资产安全。

此外，还需要考虑的是，加装电梯可能会对房屋的市场价值产生影响。如果电梯的安装导致房屋贬值，或者因施工影响到居住体验，银行可能会认为该抵押物的风险增加，从而要求提前偿还贷款或采取其他措施。因此，银行在出具同意函之前，往往会进行详细的评估和风险分析。

总的来说，加装电梯是一项复杂的工程，涉及多方利益和法律关系。当某位业主将房屋抵押给银行时，银行是否出具同意函，取决于多种因素，包括业主的意愿、银行的风险控制政策以及法律法规的规定。在实际操作中，建议各方充分沟通，依法依规推进项目，以确保所有参与者的合法权益得到保障。